Masse und Gewicht – Was ist was?

Begriffsverwirrung ein für alle Mal beseitigt

Zwei grundlegende Dinge in der Physik sind Masse und Gewicht. Wenn man sie nicht sauber trennt, wird es schwer, den Rest der Physik zu kapieren. Beide sind nicht dasselbe, auch wenn es ohne Masse kein Gewicht gibt. Wo aber liegt der Unterschied? Wie hängen Masse und Gewicht zusammen? Und welche Rolle spielen Weg und Zeit dabei? Im Grunde ist das alles aber gar nicht so furchtbar kompliziert…

Im täglichen Sprachgebrauch werfen wir die beiden Begriffe Masse und Gewicht fröhlich durcheinander. Selbst der Staat, der Gesetzgeber schlampt hier: Mal ist von der Fahrzeugmasse die Rede, dann wieder vom zulässigen Leer- oder zulässigen Gesamtgewicht. Beide werden in Tonnen bzw. Kilogramm angegeben, wobei das Kilogramm und die davon abgeleitete Tonne Einheiten der Masse sind, das Gewicht jedoch in Newton gemessen wird. Es ist nämlich eine Kraft. Und daher ist es physikalisch gesehen falsch, das zulässige Gesamtgewicht in Kilogramm anzugeben.

Masse und Gewicht – Skalar und Vektor

Ein Unterschied zwischen Masse und Gewicht besteht darin, dass das Gewicht ein Vektor ist. Das klingt kompliziert, ist aber ganz einfach: Ein Vektor ist eine Zahl, die außer einer Größe auch eine Richtung hat. Das Gewicht wirkt immer nach unten, zum Erdmittelpunkt hin, hat also außer seinem Betrag auch eine Richtung. Darum stellt es einen Vektor dar.

Ein Skalar – jawohl, der heißt so wie der Fisch im Aquarium – ist eine Zahl, die lediglich eine Größe, aber keine Richtung hat. Die Masse ist zunächst einmal einfach nur da und will von sich aus nirgendwohin. Sie hat nur ihre Größe aber keine Richtung und ist deswegen ein Skalar.

Masse und Gewicht sind nicht dasselbe

Ein „halb‘ Pfund“ Schinkenwurst ist laut einer schwäbischen Redensart ein rechtes Vesper. Man redet im Alltag davon, dass man Schinkenwurst nach Gewicht kauft – das ist aber falsch. Ein halbes Pfund sind ja 250 Gramm. Das Gramm ist nun jedoch das kleine Geschwisterlein vom großen Kilogramm. Und damit eine Einheit der Masse.

Nehmen wir mal an, Du hast einen Job auf dem Mond. Auf dem Weg zur Arbeit kaufst du Dir – noch auf der Erde – Dein Vesper: ein halb‘ Pfund Schinkenwurst und zwei Wecken (schwäbisch für Brötchen). Um 9:00 Uhr willst du vespern. Spaßeshalber legst Du Deine Schinkenwurst auf eine Küchenwaage und beginnst furchtbar auf den Metzger zu fluchen, der Dich offenbar besch… hat: Die Waage zeigt nämlich nur knapp 42 g an anstatt 250!

Weil die Vesperpause aber zu kurz ist, für einen Weg zum Metzger und zurück zwecks Reklamation, begnügst Du Dich erst einmal mit diesen vermeintlichen 42 g. Und Du stellst fest, dass Dich Dein Vesper trotzdem genauso satt macht wie sonst auf der Erde.

Tatsächlich ist deine Schinkenwurst auch nicht weniger geworden. Sie wiegt auf dem Mond nur weniger, weil dort die Schwerkraft nur etwa ein Sechstel so groß ist wie auf der Erde. Die Waage des Metzgers und deine Küchenwaage sind Federwaagen. Eine Federwaage misst aber nicht Masse, sondern Kraft. Am gleichen Ort hat die gleiche Masse das gleiche Gewicht. Deswegen kann man aus dem Gewicht auf die Masse schließen – aber nur, wenn man immer am selben Ort ist.

Masse ist die Menge an Materie

Die (Feder-)Waage misst eigentlich das Gewicht, also die Kraft, mit der etwas von der Erde angezogen wird. Benutzt man sie immer nur auf der Erde, kann man auf die Skala Gramm bzw. Kilogramm schreiben. Weil hier immer (so ziemlich) die gleiche Anziehung herrscht, kann man von der Gewichtskraft direkt auf die Masse schließen.

Hättest Du statt der handelsüblichen Küchenwaage – also einer Federwaage – eine Balkenwaage verwendet, wäre der Eindruck des metzgerischen Betruges nicht entstanden. Das 250 g-Gewicht, welches Du dann auf die andere Waagschale gelegt hättest, wäre nämlich auf dem Mond um genauso viel leichter, wie Dein halb‘ Pfund Schinkenwurst. Weil Deine Gewichte für die Balkenwaage überall um genauso viel schwerer oder leichter sind, wie das was Du wiegen willst, kannst Du mit der Balkenwaage tatsächlich Massen vergleichen – und zwar unabhängig vom Ort.

Tatsächlich ist die Masse die Menge an Materie, die in einem Körper steckt. Das hat aber nun wieder nichts mit dem Volumen zu tun. Die Materie kann sozusagen dichter oder weniger dicht gepackt sein. Daher kann in einem Körper bei gleichem Volumen mehr oder weniger Masse drinstecken.

Wie viel Gramm Masse in einem Kubikzentimeter steckt, hängt von der Art des jeweiligen Stoffes ab. Die Masse, die in einem bestimmten Volumen eines Stoffes steckt, nennt man die Dichte dieses Stoffes. Sie wird dann auch in Masse pro Volumen, also Gramm pro Kubikzentimeter, Kilogramm pro Liter oder Tonnen pro Kubikmeter angegeben. Fälschlicherweise nennen manche die Dichte auch noch spezifisches Gewicht, aber dabei werden dann eben auch schon wieder Masse und Gewicht durcheinander geworfen.

Protonen und Neutronen

Man kann sagen, die Masse ist ein Maß für die Anzahl von Protonen und Neutronen, die in einem Körper stecken. Genau genommen kommen da zwar auch noch die Elektronen dazu. Die Masse eines Elektrons ist aber noch so viel winziger als die eines Protons oder Neutrons, dass man die Elektronen bei einer einfachen Betrachtung vernachlässigen kann.

Atome haben einen Kern aus Protonen und manchmal auch Neutronen. Die Protonen sind elektrisch positiv geladen. Die Neutronen sind elektrisch neutral, aber ein Neutron hat die gleiche Masse wie ein Proton. Die Hülle eines Atoms besteht aus Elektronen. Diese sind elektrisch negativ geladen. Damit das Atom nach außen elektrisch neutral ist, muss es genauso viel Elektronen haben wie Protonen.

Die Anzahl der Protonen im Kern – und damit der Elektronen in der Hülle – bestimmt, um was für ein chemisches Element es sich bei dem jeweiligen Atom handelt. Das einfachste chemische Element – also das mit dem einfachsten Atom – ist der Wasserstoff. Das Wasserstoffatom besteht nur aus einem einzigen Proton und einem einzigen Elektron. Deswegen ist Wasserstoff auch so leicht.

Elemente und Isotope

Nimmt man statt dem eigenen Proton des Wasserstoffs deren zwei – und natürlich auch zwei Elektronen – hat man das zweiteinfachste chemische Element, das Helium. Ein Heliumatom besitzt so gut wie immer außer seinen zwei Protonen auch noch zwei Neutronen in seinem Kern. Beim Wasserstoff kann – ganz, ganz selten – außer dem eigenen Proton auch noch ein Neutron im Kern sitzen. Solche Wasserstoffatome nennt man schweren Wasserstoff und er verhält sich chemisch nichts anderes als normaler Wasserstoff. Er ist lediglich schwerer. Noch viel seltener kommt es vor, dass sogar zwei Neutronen im Kern eines Wasserstoffatoms enthalten sind. Das ist der sogenannte überschwere Wasserstoff. Der ist noch mal schwerer als der schwere, verhält sich chemisch aber auch wieder genauso wie die beiden anderen.

Solche Varianten desselben chemischen Elementes, die sich durch die Anzahl der Neutronen im Kern unterscheiden, nennt man die Isotopen des jeweiligen Elements. Das kommt bei den ungefähr hundert chemischen Elementen, die wir kennen, gar nicht so selten vor.

Außer der Anzahl der Protonen und Neutronen im einzelnen Atom spielt natürlich noch der Abstand der Atome zueinander eine Rolle. Ist der geringer, sind mehr Atome im gleichen Volumen und das macht den jeweiligen Stoff auch wieder schwerer.

Die Atommasse

Natürlich könnte man die Masse eines Atoms auch wie alle Maßen in Kilogramm angegeben. Das gäbe halt eine sehr winzige Zahl. In der Praxis verwendet man als Atommasse aber eine Zahl ohne Einheit. Sie hat einen kleinen Nachkommateil, den wir aber für unsere Zwecke mal ignorieren. Wir können es so sehen, dass die Atommasse auf eine ganze Zahl gerundet uns sagt, wie viel Protonen und Neutronen im Kern dieses Atoms stecken. Manche bezeichnen die Atommasse auch heute noch als Atomgewicht. Besser ist aber Atommasse, auch wenn zu einer Masse eigentlich die Einheit Gramm bzw. Kilogramm gehört.

Beim Wasserstoff beträgt die Atommasse eins – das kommt von seinem einen einzigen Proton. Das Helium besitzt zwei Protonen und zwei Neutronen und hat daher die Atommasse vier. Der Kohlenstoff mit seinen sechs Protonen und sechs Neutronen kommt mit einer Atommasse von zwölf daher.

Analog zur Atommasse kann man natürlich auch die Molekülmasse einer chemischen Verbindung angeben. Sie besteht dann logischerweise aus der Summe der Atommassen der Atome, die in dem jeweiligen Molekül verbaut sind.

Masse und Gewicht – Das Mol

In chemischen Formeln finden sich Buchstaben für die chemischen Elemente und Zahlen für die Anzahl der Atome, die vom jeweiligen Element in einem Molekül enthalten sind. H₂O bedeutet, dass in diesem Molekül – dem des Wassers – zwei Wasserstoffatome und ein Sauerstoffatom miteinander verbunden sind. Um sich den Aufbau chemischer Verbindungen klarzumachen, ist das auch o. k.

Wenn man aber eine chemische Verbindung tatsächlich herstellen will, hantiert man ja nicht mit einzelnen Atomen. Dann interpretiert man diese Zahlen nicht als einzelne Atome, sondern als Mol. Ein Mol eines Stoffes sind so viel Gramm wie seine Atom- bzw. Molekülmasse beträgt. Kohlenstoff beispielsweise hat die Atommasse zwölf, ein Mol Kohlenstoff sind daher 12 g.

Bei Gasen muss man da aber aufpassen: Gasatome sind nicht gerne alleine. Deswegen finden sie sich meist zu Pärchen zusammen. Gasförmiger Wasserstoff beispielsweise besteht nicht aus einzelnen H-Atomen, sondern aus lauter H₂-Molekülen. Da ein Wasserstoffatom die Atommasse eins hat, haben zwei die Molekülmasse zwei. Und daher entspricht ein Mol Wasserstoff 2 g.

Nur Edelgase bilden keine Pärchen, sondern kommen als einzelne Atome daher. So hat ein Mol Helium nur 4 g, da die Atommasse von Helium vier beträgt. Deswegen ist Helium nur doppelt so schwer wie Wasserstoff, obwohl es die vierfache Atommasse hat.

In einem Mol eines Stoffes befinden sich immer 6,022 ×10²³ Teilchen, also Atome bzw. Moleküle. Daher könnte man auch sagen, dass ein Gramm eines Stoffes immer diese 6,022 × 10²³ Protonen und Neutronen enthält. Und weil sich diese Zahl nicht ändert, wenn man dieses Gramm eine Stoffes zum Beispiel auf dem Mond bringt, ist die Masse – im Gegensatz zum Gewicht – unabhängig vom Ort.

Diese Zahl 6,022 × 10²³ heißt übrigens Loschmidtsche Zahl. Sie wurde nämlich von einem gewissen Josef Loschmidt (1811 – 1895) ermittelt, der zwar zunächst angefangen hatte, Chemie zu studieren, sich dann aber als Physiker einen Namen machte.

Exkurs: Das Urkilogramm

Früher war das Kilogramm tatsächlich duch einen Zylinder aus Platin, legiert mit 1% Iridium mit genau dieser Masse definiert: Das Urkilogramm in Paris. Das Urkilogramm und sein Kopien enthalten – logischerweise – 6,022 * 10²⁶ (also 1000 * 6,022 * 19²³) Protonen und Neutronen als Bestandteile der Platin- und Iridiumatome aus denen es besteht.

Um überall auf der Welt Massen genau bestimmen zu können, musste man genaue Kopien dieses Körpers und aufwendige mechanische Methoden verwenden. Heute ist das Kilogramm über bestimmte physikalische Zusammenhänge definiert.

Bei Gasen ist es ganz einfach

Gasteilchen – also Moleküle bei „gewöhnlichen“ und Atome bei Edelgasen – haben nun die lustige Eigenschaft, dass sie bei gleichem Druck und gleicher Temperatur immer die gleichen Abstände zueinander einhalten. Ein Mol eines Gases nimmt daher bei gleichem Druck und gleicher Temperatur immer denselben Raum ein – ganz egal um was für ein Gas es sich handelt.

Bei einer Temperatur von 0 °C und einem Druck von 1 bar hat ein Mol eines beliebigen Gases immer einen Rauminhalt von 22,4 l. Anhand der Molekülmasse kennt man dann auch die Masse dieser Menge an Gas in Gramm: Bei Wasserstoff mit der Molekülmasse 2 hätten wir also mit diesen 22,4 l Volumen bei 0 °C und einem bar Druck 2 g Wasserstoff. Dadurch könnte man jetzt zum Beispiel auch die Dichte von Wasserstoff bei der angegebenen Temperatur und dem angegebenen Druck ermitteln.

Bei Flüssigkeiten und Gasen ist es zwar mit dem Volumen nicht so einfach, aber die Masse stimmt. Ob Gas, Flüssigkeit oder Feststoff, man kann auf diese Weise anhand einer chemischen Formel feststellen, wie viel man jeweils von den Bestandteilen in Gramm oder Kilogramm benötigt, um eine bestimmte Menge eines bestimmten Stoffes herzustellen.

Was haben Masse und Gewicht nun miteinander zu tun?

Der Grund, warum wir im Alltag Masse und Gewicht nicht sauber trennen, mag darin bestehen, dass wir Masse vor allen Dingen als Gewicht wahrnehmen. Wenn wir zum Beispiel ein Stück Eisen mit einer Masse von, sagen wir mal, 2 kg in die Hand nehmen, spüren wir dessen Gewicht. Dieses Gewicht hat das Eisenstück aber nur, weil es von der Erde angezogen wird.

Nicht nur die Erde kann Massen anziehen, jede Masse zieht andere Massen an. Wie groß die Anziehungskraft zwischen zwei Massen ist, hängt davon ab, groß diese beiden Massen sind und wie weit sie voneinander entfernt sind. Je größer das Produkt aus beiden Massen, umso stärker ist die Anziehungskraft. Und je weiter die beiden Massen voneinander entfernt sind, umso kleiner ist sie.

Angeblich soll ja dem Physiker Isaac Newton (1643 – 1727) mal ein Apfel auf den Kopf gefallen sein. Und das soll ihn zum Nachdenken über das Fallen von Gegenständen gebracht haben. Das ist zwar eine schöne Geschichte, aber eben nur eine Geschichte. Es heißt auch, dass Newton mal erzählt habe, dass ihn ein fallender Apfel zu diesen Gedankengängen angeregt hätte. Auf jeden Fall wahr jedoch ist, dass er herausgefunden hat, dass Massen sich gegenseitig anziehen und wovon diese Anziehungskraft bestimmt wird – nämlich von den beiden Massen und ihrem Abstand:

mit G = 6,673 * 10^-11 m³kg^-1s^-2

G ist die sogenannte Gravitationskonstante. Die Zahl und die seltsame Einheit sind notwendig, damit das Ergebnis in der Einheit der Kraft kgms^-2 herauskommt, die auch einen eigenen Namen hat, nämlich Newton, abkürzt „N“.

Diese Anziehungskraft herrscht zwischen allen Massen und daher auch zwischen der Erde und den Dingen, die auf ihr sind. Im Alltag bemerken wir aber lediglich die Anziehungskraft der Erde; die Anziehungskräfte, die natürlich auch zwischen allen Gegenständen auf ihr herrschen, sind dafür zu klein.

Masse und Gewicht: Warum der Apfel nach unten und nicht die Erde nach oben fällt

Die Massenanziehung ist also eine Kraft – und daher ist auch das Gewicht eine Kraft. Und wie alle Kräfte wird es in Newton angegeben und nicht in Kilogramm. Der Deutlichkeit halber spricht man daher öfter auch von der Gewichtskraft.

Die Anziehungskraft zwischen zwei Massen übt sowohl die eine Masse auf die andere als auch die andere auf die eine aus. Sprich: Der Apfel zieht die Erde genauso stark an wie die Erde den Apfel. Warum aber fällt dann der Apfel nach unten in Richtung Erde und nicht die Erde nach oben in Richtung Apfel?

Hier kommt eine weitere Eigenschaft der Masse ins Spiel: die Trägheit. Massen ziehen sich nicht nur gegenseitig an, sondern sie sind träge; d.h. sie ändern nicht gerne ihren Bewegungszustand. Wenn eine Masse ruht, möchte sie sich nicht in Bewegung setzen. Und wenn sie in Bewegung ist, ändert sie ungern ihre Richtung und Geschwindigkeit. Je größer nun eine Masse ist, umso schwerer lässt sie sich in Bewegung setzen oder abbremsen.

Die deutliche Anziehungskraft der Erde, die wir als Gewicht von Gegenständen wahrnehmen, kommt natürlich von ihrer riesigen Masse. Am Gewicht des Apfels ist also hauptsächlich die Erde schuld und nicht der Apfel. Trotzdem übt der Apfel genau die gleiche Kraft auf die Erde aus wie die Erde auf den Apfel.

Weil nun aber der Apfel die viel geringere Masse hat und damit viel weniger träge ist als die Erde, setzt er sich in Bewegung und nicht die Erde.

Trägheit, Masse und Gewicht – Newton und Kilopond

Am gleichen Ort erfährt nun die gleiche Masse immer die gleiche Gewichtskraft. Deswegen kann man ja die Masse auch durch Messung der Gewichtskraft – also zum Beispiel mit einer Federwaage – bestimmen. Früher wurde auch die Kraft über die Gewichtskraft, die eine bestimmte Masse erfährt, bestimmt: Die alte Einheit der Kraft, dass Kilopond (Kp) war definiert als die Gewichtskraft, die 1 kg Masse auf der Erde erfährt.

Für den Alltag – und früher auch für die Physik – reichte das aus. Das kleine Problem dabei ist, auch auf der Erde ist die Schwerkraft nicht immer genau gleich. Für das Abwiegen von einem halb Pfund Schinkenwurst spielt das keine Rolle. Den Physikern aber war die Definition der Kraft über das Gewicht irgendwann nicht mehr genau genug.

Anders als das Gewicht ist die Trägheit einer bestimmten Masse unabhängig vom Ort. Daher kann man die Kraft mit der Trägheit besser bestimmen als mit dem Gewicht. Die nach unserem Physiker Isaac Newton benannte neuere Einheit der Kraft ist daher das Newton (N). Es definiert sich über die Kraft, die man benötigt um einen Körper zu beschleunigen. Masse ist träge, ändert daher ihre Geschwindigkeit nicht gern. Um die Geschwindigkeit einer Masse zu ändern, muss man eine bestimmte Kraft auf sie wirken lassen.

Will man einen Körper der Masse 1 kg innerhalb 1 Sekunde auf eine Geschwindigkeit von 1 m/s beschleunigen, muss dazu die Kraft 1 Newton auf ihn wirken. Und daher definiert sich das Newton so:

1 N = 1 kgm/s²

Wo die doofe Quadratsekunde herkommt

Die seltsame Einheit s² also Quadratsekunde, löst bei Laien oft Unverständnis aus. Zeit ist ja eigentlich eindimensional und da erscheinen einem Quadratsekunden unsinnig. Die quadrierte Sekunde erklärt sich aber leicht: Geschwindigkeit ist ja bekanntlich Weg durch Zeit und ihre Einheit heißt Meter pro Sekunde, also m/s. Die Sekunde steht hier im Nenner, so wie die Zeit, deren Einheit sie ist in der Gleichung für die Geschwindigkeit v = s/t im Nenner steht. Geschwindigkeit v ist also gleich Weg s geteilt durch Zeit t – also der zurückgelegte Weg pro Zeiteinheit.

Beschleunigung a ist jetzt die Geschwindigkeit(sänderung) pro Zeiteinheit, also Geschwindigkeit durch Zeit: a = v/t (Ja, ich weiß, eigentlich müsste es Δv heißen. Aber dass Fass mit der Analysis bleibt heute zu.)

Weil aber v = s/t ist, wird daraus der folgende „halbe Doppelbruch“:

Nach den Regeln der Bruchrechnung kann man den Nenner vom Zähler in den Zähler des Nenner packen. Hier ist der Nenner zwar kein Bruch, aber das macht nichts: Wenn man will, kann man sich nämlich jede Zahl auch als Zähler eines Bruchs vorstellen, der ganz einfach eine Eins im Nenner hat. Dadurch steht dann im Zähler des Nenners Sekunde mal Sekunde – s * s – was man dann in der Mathematik eben als s² schreibt.

Die anderen grundlegenden Einheiten

Das Kilogramm ist eine der Grundgrößen der Physik. Es ist, worüber ich ja schon die ganze Zeit quatsche, die Einheit der Masse. Eine weitere wichtige Grundgröße ist die Länge, deren Grundeinheit das (oder der) Meter ist. Und schließlich gibt es da noch die Zeit, deren Einheit die Sekunde ist.

Aus diesen drei Grundeinheiten, dem Meter, dem Kilogramm und der Sekunde, lassen sich nun die ganzen zusammengesetzten Einheiten der Mechanik zusammenschrauben: zum Beispiel die Geschwindigkeit als Weg geteilt durch Zeit in m/s, die Fläche als Länge mal Länge in m², die Beschleunigung als Geschwindigkeit(sänderung) durch Zeit in m/s², die Kraft als Masse mal Beschleunigung in kgm/s² kurz N usw.

Erdbeschleunigung, Masse und Gewicht

Wie wir gesehen haben, bekommt die Masse ihr Gewicht durch die Erdanziehung, die der Fachmann Erdbeschleunigung oer Fallbeschleunigung nennt. Sie beträgt abgerundet 9,81 m/s². Als genauen Wert für die Normfallbeschleunigung nimmt man 9,80665 m/s². Mit diesem Wert wurde früher auch das Kilopond definiert.

Wenn man die Gewichtskraft G berechnen will, die 1 kg Masse bei uns hier auf diesem Planeten erfährt, kann man das mit der Formel für die Kraft aus Masse und Beschleunigung tun: F = m * a. Die Erdbeschleunigung bezeichnet man mit einem kleinen g, daher lautet die Formel für den speziellen Fall der Gewichtskraft G = m * g. Mit den Zahlenwerten für ein Kilogramm Masse wird daraus: G = 1 kg * 9,881 m/s², das sind 9,81 kgm/s², also 9,81 N.

Bei der praktischen Anwendung der Mechanik in der Technik rundet man nun meist recht großzügig. Für technische Belange reicht es daher, wenn man ganz einfach sagt, dass 1 kg Masse 10 Newton Gewichtskraft erfährt. Das bedeutet nun auch wieder, dass man alten Angaben in Kilopond einfach eine Null dran hängt, wenn man sie in Newton haben will. Zum Beispiel wurden früher einfache Baustähle nach ihrer Mindestzugfestigkeit benannt. Der Allerweltsbaustahl St 37 war ursprünglich einmal als ein Stahl definiert, der 37 kp/mm² Mindestzugfestigkeit aufwies. Als in den siebziger Jahren in der Technik das Newton das Kilopond ersetzte, machte man nicht viel Aufwand: man dachte sich ganz einfach eine Null dazu und damit war der St 37 nunmehr ein Stahl mit 370 N/mm² Mindestzugfestigkeit.

Wenn man also ganz nonchalant die Gewichtskraft 1 Kilogramms Masse mit 10 Newton annimmt, dann entspricht ein Newton der Gewichtskraft von 100 g Masse. Wenn man will, kann man sich also merken, dass eine Tafel Schokolade, die auf dem Tisch liegt, diesen mit einer Gewichtskraft von einem Newton belastet. Zumindest, solange noch niemand daran genascht hat…