Physikalische Einheiten und wie sie zusammenhängen III

Jetzt wird gearbeitet und geleistet!

Physikalische Einheiten der Arbeit/Energie und Leistung: Kraft ist Masse mal Beschleunigung. Arbeit ist Kraft mal Weg. Und wie sieht es mit der (mechanischen) Leistung aus? Hier kommt nun wieder einmal die Zeit ins Spiel und wird sogar zur dritten Potenz erhoben. Klingt komisch – ist aber so. Und warum es so ist, wird wiedereinmal klar, wenn man sich überlegt, was die einzelnen Größen in der Geschichte – und damit in der Formel – bewirken.

Dies ist der dritte Teil einer mehrteiligen Geschichte – zum ersten Teil geht es hier.

Masse ist nicht dasselbe wie Gewicht. Sie heben auch verschiedene physikalische Einheiten. Darüber gibt’s hier einen gesonderten Artikel, wo das genauer nachzulesen steht. Dort steht auch, dass auf eine Masse von 1 kg bei uns auf der Erde eine Gewichtskraft, kurz ein Gewicht, von 9,81 N erfährt. Genau genommen wiegt ein 100-Kilogramm-Mann also nicht 100 kg, sondern 981 N. Der Einfachheit halber rundet man hier aber meist großzügig und sagt, dass 1 kg eine Gewichtskraft von 10 N erfährt. 10 N sind ein daN, ausgesprochen „Dekanewton“. Auf Bremsenprüfständen wird die Bremskraft gerne in daN angezeigt. Vermutlich deswegen, weil das daN grob der alten Einheit der Kraft, dem Kilopond entspricht.

Hubarbeit wird verrichtet

Lange Rede kurzer Sinn: Eine 100 g-Tafel Schokolade erfährt also etwa 1 N Gewichtskraft. Hält man so eine Tafel Schokolade, muss man dementsprechend eine Kraft von 1 N aufbringen. Nehmen wir an, die 100 g Schokolade liegen auf dem Tisch. Du nimmst sie und legst sie auf ein Regalbrett, dass sich 1 m über dem Tisch befindet. Dazu hast du eine bestimmte physikalische Arbeit verrichten müssen. Natürlich ist die Hubarbeit umso größer, je schwerer der gehobene Körper ist und je höher man ihn hebt. Kräfte bekommen in der Physik das Formelzeichen F. Manchmal setzt man noch ein Kürzel als Index daran, um zu zeigen, was das jeweils für eine Kraft sein soll. Die Gewichtskraft unserer Schokolade könnten wir also mit F_G bezeichnen. Bei Gewichtskräften schreibt man aber meist ein großes G als Formelzeichen.

Die Höhe, um die man etwas anhebt, macht die Hubarbeit größer. Daher gehört sie in den Zähler. Die Gewichtskraft macht die Hubarbeit ebenfalls größer, gehört also auch in den Zähler. Nenner gibt’s mal wieder keinen bzw. man denkt sich eine Eins darin. Daraus ergibt sich dann die folgende Formel für die Hubarbeit.

W_Hub = G * h

Die Einheit der physikalischen Arbeit

Das große W ist das übliche Formelzeichen für die Arbeit. Auch hier kann man mit dem Index vermerken, was das für eine Arbeit ist. Die Höhe ist eine Länge, sie wird ja auch in Meter gemessen. Allgemein ist das Formelzeichen für die Länge das kleine l, man benutzt dieses, wenn es sich tatsächlich um eine Länge eines Körpers handelt. Wenn wir eine Strecke, also eine Entfernung meinen, nimmt man das s als Formelzeichen, wie zum Beispiel im Zusammenhang mit der Geschwindigkeit aus Weg s und Zeit t. Wenn es sich um eine Höhe handelt, kommt das h zum Einsatz. Physikalische Einheiten können halt manchmal unterschiedliche Formelzeichen haben.

Die Schokoladengeschichte würde als Rechenaufgabe so aussehen:

Geg.: G = 1 N; h = 1 m

Ges.: W_Hub

Lsg.:

W_Hub = G * h

W_Hub = 1 N * 1 m

W_Hub = 1 Nm

Wenn man nach alter Väter Sitte ja auch wieder beim Rechnen die Einheiten mitzieht, ergibt sich die Einheit der physikalischen Arbeit, dass Nm. Dafür gibt es aber auch wieder einen eigenen Einheitennamen, das Joule (J):

1 J = 1 Nm

Mechanische Arbeit ganz allgemein

Bei der Hubarbeit, die wir an der Schokolade verrichten, haben wir den Spezialfall, dass wir eine Gewichtskraft G als Kraft und eine Höhe h als Weg haben. Ganz allgemein bezeichnet man die Kraft mit F und den Weg mit s. Ganz allgemein heißt also die Formel für die physikalische Arbeit Kraft mal Weg:

W = F * s

oder

W = F s

(Wenn man Formelzeichen multipliziert, kann man den * weglassen)

Und natürlich kann man – wie bei physikalischen Einheiten allgemein – auch hier jeweils mit einem Index näher bezeichnen, um was für eine Kraft oder was für einen Weg es sich handeln soll. Nehmen wir an, du willst einen Schubkarren über eine Strecke von 20 m schieben. Um ihn in Bewegung zu halten, musst du mit einer Kraft von 200 N schieben. Dass du den Schubkarren am Anfang beschleunigen muss, lassen wir mal außer Acht. Denken wir uns also, dass du mit ihm schon losgefahren bist, wenn du die Startlinie der gedachten 20 m Messstrecke überfährst und den ganzen Weg mit der gleichen Geschwindigkeit zurücklegst.

Welche Arbeit hast du jetzt dabei verrichtet?

Geg.: s = 20 m; F = 200 N

Ges: W

Lsg.:

W = F s

W = 200 N * 20 m

W = 4000 Nm

W = 4000 J

Physikalische Einheiten für Arbeit/Energie und Leistung

Da ist jetzt noch eine komische Sache: Die hochgehobene Schokoladentafel hat die Arbeit, die zum Heben verwendet wurde, gespeichert. Sie hat auf dem Regalbrett gegenüber dem Tisch eine Lageenergie von 1 N * 1 m = 1 J. Man könnte die Schokolade ja wieder herunter sinken lassen und sie dabei zum Beispiel mit einem auf eine Welle auf gewickelten Faden wiederum Arbeit verrichten lassen. Und zwar auch wieder 1 N * 1 m = 1 J. Die verrichtete Hubarbeit war in der Lageenergie gespeichert und kann jetzt wieder verrichtet werden. Arbeit und Energie sind nämlich genau das gleiche, nur heißt unser eines Joule in diesem Beispiel Arbeit, solange es verrichtet wird und Energie, wenn es gespeichert ist.

O. k., Schokolade an einem auf einer Welle auf gewickelten Faden ist ein blödes Beispiel für physikalische Einheiten. Es ist aber im Prinzip nichts anderes, als wenn du eine Uhr aufziehst und dabei ein Uhrgewicht mit 100 g Masse 1 m hochziehst. Die gespeicherte Arbeit wird Energie genannt. So kann man sich leichter vorstellen, dass das eine Joule Arbeit als 1 Joule Lageenergie im hochgezogenen Gewicht steckt, und beim Heruntersinken des Gewichts dann wieder verrichtet wird und die Uhr antreibt.

Das ist ja noch nicht wirklich komisch. Komisch ist, dass der Schubkarren, an den du ja auch eine Arbeit verrichtet hast, nicht von selber wieder zurück fährt. Das ist aber ganz einfach zu erklären: Der Schubkarren hat, wenn die Strecke waagerecht verläuft, am Ende keine Lageenergie gewonnen. Mit der Arbeit, die du an ihm verrichtet hast, hast du lediglich Widerstände, vereinfacht gesagt Reibung, überwunden. Dabei hat sich deine mechanische Arbeit vollständig in Wärme umgewandelt. Die hat die Umgebung und in dem Falle auch den Reifen deine Schubkarrens minimal aufgewärmt. Deswegen ist die verrichtete Arbeit zwar jetzt für dich futsch, aber nicht wirklich verschwunden. Wie das genau zusammenhängt, steht in dem Artikel über die Erhaltung der Energie.

Kommen wir aber zurück zu der verrichteten Arbeit: Nehmen wir an, du hast mit dem Schubkarren die 20 m im 40 Sekunden zurückgelegt. Wenn wir die 4000 J durch diese 40 Sekunden teilen, bekommen wir heraus, dass du in jeder Sekunde 100 J Arbeit verrichtet hast. Diese pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit heißt Leistung und hat als Formelzeichen ein kleines p.

Physikalische Einheiten und Formeln sind logisch: Denken wir wieder daran, dass alles, was das Ergebnis größer macht, in den Zähler gehört und alles, was es kleiner macht, in den Nenner: Wenn man in der gleichen Zeit mehr Arbeit verrichtet, muss die Leistung größer sein – also gehört die Arbeit in den Zähler, denn sie macht das Ergebnis größer. Wenn man für die gleiche Arbeit mehr Zeit braucht, dann ist die Leistung kleiner. Weil die Zeit also das Ergebnis kleiner macht, gehört sie in den Nenner. Und dann ergibt sich für die Leistung p die folgende Formel:

p = W/t

oder mit W = F s

Auch diese Formel hält unserer Regel stand: Mehr Kraft auf dem gleichen Weg in der gleichen Zeit ergibt mehr Leistung. Mehr Weg mit der gleichen Kraft in der gleichen Zeit gibt ebenfalls mehr Leistung. Mehr Zeit für den gleichen Weg und die gleiche Kraft bedeutet weniger Leistung. Kraft F und Weg s müssen also im Zähler stehen, die Zeit t landet im Nenner.

Und wie lautet die Einheit? Natürlich J/s oder, weil 1J = 1 Nm ist, Nm/s. Und sie hat – wie viele zusammengesetzte physikalische Einheiten – sogar auch einen eigenen Namen: Watt (W).

1 W = 1J/s = 1 kgm²/s³

Als Rechenaufgabe sieht die Geschichte mit dem Schubkarren so aus:

Geg.: s = 20 m; F = 200 N; t = 40 s

Ges.: p

Lsg.:

Wenn man die Einheiten aufdröselt sieht es so aus:

Anhand dieser Darstellung kann man nun nachvollziehen wie die ausgeschriebene Einheit der Leistung aus den grundlegenden physikalischen Einheiten kg, m und s entsteht. Die Quadratsekunden aus dem ausgeschiebenen Newton – kgm/s² – wandern in den Nenner, weil sie im Nenner des Zählers stehen. Mit den Sekunden, die dort eh‘ schon stehen ergibt das Kubiksekunden. Und die Meter vom Newton ergeben mit den Metern des Weges Quadratmeter.

Ein Watt ist also ein Kilogrammquadratmeter pro Kubiksekunde – wundert es jemand, dass man solchen zusammengesetzten Einheiten eigene Namen gibt? Und nebenbei ehrt man damit auch noch wichtige Persönlichkeiten aus der Geschichte der Physik: Die Herren Isaac Newton (1643 – 1727), James Prescott Joule (1818 – 1889) und James Watt (1736 – 1819).

Arbeit und Energie messen wir heutzutage grundsätzlich in Joule, egel, ob es sich um mechanische, elektrische oder thermische Arbeit handelt. Leistung wird ebenfalls immer in Watt gemessen. Allerdings wird – sozusagen geduldeter Weise – bei Kraftfahrzeugmotoren auch noch die Leistung zusätzlich in der alten Einheit der mechanischen Leistung, der Pferdestärke (PS) angegeben.

Weiter geht es im nächsten Teil mit Druck- und Zugspannungen.