Physikalische Einheiten und wie sie zusammenhängen IV

Jetzt wird’s spannend: Druck und Zug

Eine wichtige Rolle in der Technik spielen mechanische Spannungen. Sie können als Druck- und Zugspannungen auftreten. Beide Male geht es jedoch um Kraft, die auf die Fläche bezogen wird. Und natürlich gibt es physikalische Einheiten für die mechanische Spannung, damit man mit ihr auch rechnen kann.

Dies ist der vierte Teil einer mehrteilige Geschichte. Zum ersten Teil geht es hier.

Wenn der Jäger und Sammler sich Gedanken über Maße machte, so stelle ich mir vor, waren das vor allem Längenmaße: Um einen Bogen und die zugehörigen Pfeile zu machen, reicht es, wenn man Längen beachtet. Ähnlich ist es beim Bau einer Hütte. Flächen wurden vermutlich mit dem Ackerbau interessant. So sind alte Flächenmaße gerne auf die landwirtschaftliche Arbeit bezogen: Ein Morgen ist die Fläche, die man an einem Vormittag mähen kann. Gras lässt sich nämlich am besten vormittags mähen, wenn es vom Tau feucht und knackig ist.

Physikalische Einheiten der Fläche

Will man nun aber eine Fläche zahlenmäßig erfassen, geht es ans Multiplizieren. Eine Fläche ist umso größer, je länger sie ist. Sie hat außer der Länge jedoch auch eine Breite. Die macht die Fläche ebenfalls größer. Wie war das noch gleich? Alles, was das Ergebnis größer macht, kommt in den Zähler. Daher stehen in der Formel für die Fläche sowohl die Länge als auch die Breite im Zähler. Als Nenner kann man sie natürlich wieder eine Eins denken, die man aber nicht zu schreiben braucht. Auf jeden Fall ergibt sich, dass man die Länge l mit der Breite b multiplizieren muss, um die Fläche A zu erhalten:

A = l * b

Außerdem erinnern wir uns, dass man in physikalischen Formeln gefälligst die Einheiten mitzuziehen hat. Weil Länge und Breite beide in Metern gemessen werden, multiplizieren wir Meter mit Meter. Aus Irgendwas mal Irgendwas kann man auch Irgendwas zum Quadrat machen. Aus Meter mal Meter wird also Meter zum Quadrat bzw. Quadratmeter.

In der Fläche tritt die Länge also in der zweiten Potenz auf, nämlich im Quadrat. Und deswegen wird auch ganz einfach die Einheit der Länge potenziert: Aus dem Meter (m) wird der oder das Quadratmeter (m²). Na, wenigstens kann man sich den Quadratmeter besser vorstellen, als die doofe Quadratsekunde aus der Beschleunigung.

Despina, Kreszenzia und Emilia: Die Faktoren und ihre Kürzel

Wer gerne hat, dass seine Birne ordentlich qualmt, kann sich die kleinen Schwestern und großen Brüder der Eins auch sparen: Die Dezi, die Zenzi… äh, Zenti und die Milli sowie den Deka, den Hekto und den Kilo ersetzt der knallharte Mathematiker durch negative und positive Zehnerpotenzen: 10³ m für Kilometer oder 10^-6 g für Mikrogramm. Der Techniker möchte die Geschwisterlein jedoch nicht missen und merkt sich:

Kleine Schwestern

Dezi: 1/10 oder 0,1 oder 10^-1 (d, z.B. dm)

Zenti: 1/100 oder 0,01 oder 10^-2 (c, z.B. cN)

Milli: 1/1000 oder 0,001 oder 10^-3 (m, z.B. mg)

Große Brüder

Deka: 10 oder 10¹ (da, z.B. daN)

Hekto: 100 oder 10² (h, z.B. hPa)

Kilo: 1000 oder 10³ (k, z.B. kg)

Mit diesem „Vorsätzen“ werden konkrete Größen wie Längen oder Massen, die unhandlich klein oder groß sind, gebändigt. Mit 1 cm rechnet sich leichter als mit 0,01 m und 20 kg sind handlicher als 20.000 g. Stellt euch mal den armen Maurer vor, dem man einen 0,24er Backstein in die Hand drückt oder das Gesicht eines Schlossers, der ein 0,06er Gewinde schneiden soll. So hießen nämlich der 24 er Backstein und das 6er Gewinde, wenn man sie griffelspitzerisch in Metern statt in Zentimetern bzw. Millimetern bemessen würde. Oder noch besser: 2,4 * 10^-1er Backstein und 6 * 10^-3er Gewinde… Herrlich!

Diese jeweils drei kleinen Schwestern und großen Brüder, die physikalische Einheiten in der Größenordnung anpassen, sind die wichtigsten. Sie vergrößern bzw. verkleinern sich um den Faktor zehn. Jenseits der 1000 geht’s dann in Tausenderschritten weiter: Mega für 1 Million, Giga für 1 Milliarde und Tera für 1 Billion. Und in die andere Richtung: Mikro für ein Millionstel, Nano für ein Milliardstel und Piko für ein Billionstel.

Faktoren für physikalische Einheiten in der Praxis

Neben den jeweils drei wichtigsten begegnen uns in der Technik am ehesten noch Mega und Mikro. Mit dem Mega bekommt man – wie wir weiter unten sehen werden – die an sich sehr unhandliche Einheit der mechanischen Spannung, das Pascal, in den Griff. Und wenn’s bei den Metallern so richtig genau her geht, dann denken Sie in Mikrometer.

Ansonsten sind Milli und Kilo wohl die gebräuchlichsten Faktoren. Die anderen sind seltener anzutreffen. Das Dekagramm, nimmt man in Österreich umgangssprachlich als „Deka“ zum Abwiegen von Wurst. Bei Bremsenprüfständen schreibt man gern das Dekanewton (daN) auf die Skalen. Vermutlich, weil ein daN grob einem Kilopond entspricht. Dezimeter hört und liest man manchmal; der oder das Liter entspricht ja auch einem Kubikdezimeter. An Eisenbahnlinien findet man die sogenannten Hektometertafeln, die alle 100 m aufgestellt sind und Zentimeter sind eine recht gebräuchliche Maßeinheit.

Es gilt übrigens die Regel, dass man nur immer die Grundeinheit mit den Faktorenkürzeln verwenden darf. Deswegen wurde den REFA-Leuten ihre gute, alte Zentiminute verboten. REFA-Stoppuhren teilen nämlich die Minute nicht in 60 Sekunden sondern in 100 Teile. Das ist geschickt, denn dezimalen Minuten lassen sich besser addieren, als Minuten und Sekunden. Und die Minute wiederum ist eine handliche Einheit für die Zeitkalkulation. Kurze Einzelzeiten bei der Bearbeitung eines Werkstücks bleiben mit zum Beispiel 0,23 Minuten oder 2,75 Minuten in einer vernünftigen Größenordnung. Und auch ein ganzer Arbeitstag a 8 Stunden bleibt handlich, wenn man ihn mit 480 Minuten rechnet.

Die Zentiminute jedoch wurde gerügt: Man dürfe die Minute nicht so zerstückeln, denn sie sei ja nicht die Grundeinheit der Zeit. Das sei die Sekunde und nur die dürfe man mit Zenti, Milli & Co verkleinern. Seither rechnet man Fertigungszeiten in Hundertstel Minuten, abgekürzt HM.

Physikalische Einheiten für Fläche und Rauminhalt

Man kann jetzt die Faktorenkürzel auch auf die Flächen und Raummaße anwenden. Dabei muss man aber beachten, dass sie sich dabei ebenfalls potenzieren. Die Längenmaße sind ja zehnteilig:

1 m = 10 dm

1 dm = 10 cm

1 cm = 10 mm

Bei den Flächenmaßen wird jetzt aus dem Zehnerschritt ein Hunderterschritt:

1 m² = 10 dm * 10 dm = 100 dm²

1 dm² = 10 cm * 10 cm = 100 cm²

1 cm² = 10 mm * 10 mm = 100 mm²

Der Vollständigkeit halber betrachten wir das Ganze auch noch räumlich. Während Längenmaße also zehnteilig sind, sind Flächenmaße hunderteilig. Logischerweise sind physikalische Einheiten für Rauminhalte jeweils die dritte Potenz der Längenmaße. Der Rauminhalt V ergibt sich ja, indem man die Länge l mit der Breite b zur Fläche A multipliziert und das ganze dann noch mal mit der Höhe h, um das Volumen V zu bekommen.

A = l * b

V = A * h

V = l * b * h

Damit bekommen wir bei den Längenmaßen die dritte Potenz, also „Kubik“. Kubikmeter (m³), Kubikdezimeter (dm³) und Kubikzentimeter (cm³):

1 m³ = 10 dm * 10 dm * 10 dm = 1000 dm³ (1000 l)

1 dm³ (1 l) = 10 cm * 10 cm * 10 cm = 1000 cm³

1 cm³ = 10 mm * 10 mm * 10 mm = 1000 mm³

Die Raummaße sind also tausendteilig. Der Kubikdezimeter hat dabei sogar einen eigenen Namen, das oder der Liter. Das 1 m³ 1000 l entspricht, ist uns aus dem Alltag geläufig. Und auch, dass auf 1 l 1000 cm³ gehen. Aufpassen muss man aber vielleicht, wenn es um Kubikzentimeter und Kubikmillimeter geht: Denn auch hier gilt der Faktor 1000 und auf 1 cm³ gehen 1000 mm³.

Und bei dieser Gelegenheit räche ich auch die schnöde gemeuchelte, gute, alte Zentiminute. In dem ich nämlich der Einheit Milliliter auf die gleiche griffelpitzerische Art und Weise den Todesstoß versetze: Auch der Liter ist keine Grundeinheit, denn die Grundeinheit des Volumens ist der Kubikmeter, weil der Meter die Grundeinheit der Länge ist. Ergo darf man den Liter genauso wenig mit Fräulein Milli verkleinern wie man die Minute nicht mit Fräulein Zenti verkleinern darf.

Spannung ist Kraft pro Fläche oder: Der arme Herr Pascal oder: Das unartige Kind des SI

Im Einheitensystem der Days of Aulde gab es eine sehr handliche Einheit des Drucks: die Atmosphäre (at). Eine Atmosphäre entspricht einem Kilopond pro Quadratzentimeter. Der Luftdruck auf der Erde hat nämlich ungefähr diese Größe. Außerdem geht der Techniker in der Regel mit Drücken um, die sich handlich in Atmosphären ausdrücken lassen: Der Reifendruck bei Autos und Motorrädern bewegt sich zwischen zwei und drei Atmosphären. Pressluft aus dem Pressluftanschluss in der Werkstatt hat so grob um die fünf Atmosphären und selbst die Drücke in hydraulischen Anlagen bewegen sich in Bereichen bis zu einigen Hundert Atmosphären.

Außer Druckspannungen gibt es aber auch Zugspannungen. So wie sich eine Druckkraft auf eine Fläche verteilen kann, kann das auch eine Zugkraft. Allerdings sind hier die Zahlenwerte, mit denen der Techniker umgeht, so alle Mal zwei Zehnerpotenzen größer. Der Allerweltsstahl früherer Zeiten, der gute alte St 37 musste laut Norm 37 Kilopond pro Quadratmillimeter Zug aushalten, bevor er abknallte.

Kaputt war er aber schon früher, denn ungehärteter Stahl zieht sich erst mal ordentlich in die Länge, bevor er tatsächlich abgeknallt. Und wenn sich mal was dauerhaft gestreckt, gestaucht oder verbogen hat, ist es bereits hin. Die sogenannte Streckgrenze von St 37 lag so um die 23 Kilopond pro Quadratmillimeter, also auch in dieser Größenordnung. Und natürlich bewegen sich Zugspannungen und physikalische Einheiten, mit denen Techniker rechnen müssen auch in diesen Größenordnungen.

Mit den neuen Einheiten wurde das etwas problematisch. Der arme Herr Pascal ist auch deswegen zu bedauern, weil nach ihm die ungeliebte Einheit der Spannung benannt wurde. Außerdem war er zeitlebens kränklich und wurde nicht alt. Zu allem Überfluss hatte er auch öfter mal Ärger wegen seiner religiösen Ansichten. Man sollte heutzutage sowohl Druck- als auch Zugspannungen in Pascal (Pa) angeben. Was gibt es daran aber zu meckern?

Nun, bei unseren derzeitigen Einheitensystem gibt es einen an sich sehr guten Grundsatz: Abgeleitete physikalische Einheiten sollen sich immer ohne Faktor auf die Grundeinheiten beziehen. So ist eben das Newton (N) genau 1 kg mal 1 m durch 1 s². Diese Einheit ist jetzt zwar kleiner als das alte Kilopond, aber trotzdem noch handlich. Ungeschickt wird es mit dem Pascal. Nach dem Grundsatz, nach dem man physikalische Einheiten aus den Grundeinheiten zusammenschraubt, musste man es zwangsläufig als Newton pro Quadratmeter definieren:

1 Pa = 1 N/m²

Und das ist eine sehr unhandliche Einheit: Wir erinnern uns, 1 N entspricht in etwa der Gewichtskraft einer Tafel Schokolade. Diese kleine Kraft verteilt sich auf einen ganzen großen Quadratmeter, wenn etwas mit 1 Pa auf Druck oder Zug beansprucht wird. Ein anderes Beispiel: Das Papier was wir normalerweise unter den Namen Kopierpapier bzw. Druckerpapier in Kopiergeräten und Druckern verwenden hat 80 g/m². Ein etwas dickeres Papier für etwas repräsentativere Briefe oder ein einfaches Zeichenpapier hat ungefähr 100 g/m². Sprich: Ein 1 m² große Blatt (das wäre eins im Format DIN A 0) von diesem Papier hat eine Gewichtskraft von etwa 1 N. Die verteilen sich natürlich auch wieder genau auf diesen Quadratmeter, wenn wir das Blatt auf den Tisch legen. Das heißt nun, dass 1 Pa in etwa der Druck ist, den ein Blatt Papier auf den Tisch ausübt, auf dem es liegt.

Handlichere Physikalische Einheiten für Spannungen

Man sieht also, dass an sich folgerichtig definierte Pascal ist für die Praxis eine sehr ungeschickte Maßeinheit. Man behalf sich zunächst für den Druck mit einer Einheit, die sehr nahe bei der altvertrauten Atmosphäre liegt: dem Bar (bar, früher b):

1 bar = 10 N/cm²

Diese Einheit verwendete man für Drücke in der Technik wie zum Beispiel den Reifendruck mit zwischen 2 und 3 bar, oder dem von Pressluft mit 5 oder 6 bar und auch bei recht hohen Drücken in der Technik wie etwa in Hydraulikanlagen war man mit einigen 100 bar dabei.

Den Luftdruck in unserer Atmosphäre, der ja auch ein wenig schwankt, hatte man ganz früher im Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) angegeben. Die Medizinmänner verwenden diese Einheit übrigens auch heute noch für den Blutdruck. Für mmHg gab es auch den Namen Torr, der an den Erfinder des Quecksilberbarometers, Evenagelista Torricelli (1608 -1647) erinnert.

Für den Luftdruck eignete sich das Bar aber auch, wenn man es durch 1000 teilte. Dann bekam man Millibar. Da sich der tatsächliche atmosphärische Luftdruck ja in der Größenordnung von einer Atmosphäre bzw. 1 bar bewegt, hatte man auch wieder handliche Zahlenwerte, die je nach Wetterlage etwas größer oder etwas kleiner als 1000 waren.

Zugspannungen, die man vorher in kp/mm² angegeben hatte, gab man jetzt N/mm² an. Dadurch wurden die Zahlenwerte zwar um den Faktor zehn größer, aber damit konnte man auch gut leben. Bei den Stahlnamen wie zum Beispiel St 37 dachte man sich einfach eine Null dazu: ein Stahl mit 370 N/mm².

Mit diesen Einheiten konnte man gut leben. Irgendwelchen Griffelspitzern in irgendwelchen Instituten muss das wohl missfallen haben. Schließlich ist die alleinige und rechtmäßige Einheit des Drucks nun einmal das Pascal. Aber das Rechnen damit kann man niemandem zumuten, da man dann haufenweise Nullen hinter dem Komma hat, bevor erst endlich die erste richtige Zahl kommt. Nun gibt es aber zum Glück diese famosen Faktorenkürzel, mit denen man sich bei näherem Hinsehen fast jede Einheit handlich machen kann.

Jetzt also doch in Pascal

Neuerdings gibt man also Spannungen in geeigneten Abarten des Pascal an. Wenn man beispielsweise eine Zugspannung von 1N/ mm² betrachtet, lastet 1 N auf einem mm². Da nun 1 m² eine Million mm² hat, lastet auf ihm die Kraft von einer Million N oder einem MN. und eine Million N auf 1 m² sind eine Million Pa oder ein Megapascal (MPa). Man muss also noch nicht einmal umdenken, die Zahlenwerte bleiben gleich; 1 N/mm² = 1 MPa. Der olle St 37 knallt jetzt also nicht mehr bei 37 kp/mm² ab und auch nicht bei 370 N/mm² sondern bei 370 Mpa. Der heißt jetzt übrigens anders, denn es gibt eine neue Nomenklatur für einfache Stähle. Dem St 37 entspricht in etwa der heutige S 235. Das S bedeutet, dass das ein Stahl für den Stahlbau ist und die 235 besagt dass er eine Mindeststreckgrenze von 235 MPa, also 235 N/mm² aufweist. Aber das ist eine andere Geschichte.

Für den Luftdruck nimmt man heute statt des früheren Millibar (mBar) das Hektopascal (hPa). Wir erinnern uns: Flächenmaße sind 100-teilig. 1 m² hat also 100 dm². Wenn auf 1 m² also 100 N lasten, kommt genau 1 N auf 1 dm². 1 dm² hat nun aber auch noch mal 100 cm². Also kommt auf jeden Quadratzentimeter 1/100 Newton. Das wäre dann ein 1 cN, eine Einheit, die auch manchmal verwendet wird, vermutlich weil sie in etwa einem Pond entspricht. 1000 Pond sind nun aber ein Kilopond. Wirken sie auf 1 cm², haben wir eine Atmosphäre. Das ist weder ungefähr ein Bar, den das entspricht ja 1 daN/cm². 1000 hPa sind also wiederum ein Bar und 1 hPa demnach genau 1 mbar. Auch hier bleiben die Zahlenwerte wieder gleich.

1 hPa = 1 mBar

Ungeschickt wird es nur bei den Drücken, die sich in der Größenordnung von einigen Atmosphären bewegen. Das Bar war ein guter Ersatz für die hier sehr handliche Atmosphäre. Es entspricht nun 1000 hPa, also 100.000 Pa. Für den Faktor 100.000 gibt es jedoch dummerweise keine Vorsilbe. Würden wir die Drücke, die wir bislang in bar angegeben haben, (kPa) Kilopascal verwenden, würden wir zwei Zehnerpotenzen zu niedrig liegen und unnötig große Zahlenwerte erhalten. Z.B. einen Reifendruck von 250 kPa. Das MPa (Megapascal) ist aber eine Zehnerpotenz zu hoch und ergibt daher Zahlenwerte die bei der Pressluft (z.B. 0,5 MPa) und beim Reifendruck (etwa 0, 25 MPa) unter eins liegen würden. Auch das ist nicht das Gelbe vom Ei. Das vernünftigste wäre, man bleibt hier, SI hin und DIN her, bei den guten alten Bar.